Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Основные формулы криволинейного движения
1 . Скорость движения материальной точки
\(\vec V=\frac{d\vec r}{dt}\) ,
где \(\vec r\) - радиус-вектор точки.
2 . Ускорение материальной точки
\(\vec a=\frac{d\vec V}{dt}=\frac{d^2\vec r}{dt^2}\) ,
\(a=\sqrt{a^2_{\tau}+a^2_n}\) ,
где \(a_{\tau}\) - тангенциальное ускорение, \(a_n\) - нормальное ускорение.
3 . Тангенциальное ускорение
\(a_{\tau}=\frac{dV}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}\)
4 . Нормальное ускорение
\(a_n=\frac{V^2}{R}\) ,
где \(R\) - радиус кривизны траектории.
5 . для равнопеременного движения
\(S=V_0t+\frac{at^2}{2}\)
\(V=V_0+at\)
Выразив из второго равенства \(t\) и подставив в первое, получим полезную формулу
\(2aS=V^2-V_0^2\)
Примеры решения задач
В задачах о движении тела в поле силы тяжести будем полагать \(a=g=9.8\) м/с 2 .
Задача 1.
Снаряд вылетает из орудия с начальной скоростью 490 м/с под углом 30 0 к горизонту. Найти высоту, дальность и время полета снаряда, не учитывая его вращение и сопротивление воздуха.
Решение задачи
Найти: \(h, S, t\)
\(V_0=490\) м/с
\(\alpha=30^0\)
Свяжем ИСО с орудием.
Составляющие скорости по осям Ox и Oy в начальный момент времени равны:
\(V_{0x}=V_0\cos\alpha\) - остается неизменной во все время полета снаряда,
\(V_{0y}=V_0\sin\alpha\) - меняется согласно уравнению равнопеременного движения
\(V_y=V_0\sin\alpha-gt\) .
В наивысшей точке подъема \(V_y=V_0\sin\alpha-gt_1=0\) , откуда
\(t_1=\frac{V_0\sin\alpha}{g}\)
Полное время полета снаряда
\(t=2t_1=\frac{2V_0\sin\alpha}{g}=50\) c.
Высоту подъема снаряда определим из формулы пути равно замедленного движения
\(h=V_{0y}t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\frac{V_0^2\sin^2\alpha}{2g}=3060\) м.
Дальность полета определим как
\(S=V_{0x}t=\frac{V_0^2\sin{2\alpha}}{g}=21000\) м.
Задача 2 .
Из точки А свободно падает тело. Одновременно из точки В под углом \(\alpha\) к горизонту бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в воздухе. Показать, что угол \(\alpha\) не зависит от начальной скорости \(V_0\) тела, брошенного из точки В, и определить этот угол, если \(\frac{H}{S}=\sqrt3\) . Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение задачи.
Найти: \(\alpha\)
Дано: \(\frac{H}{S}=\sqrt3\)
Свяжем ИСО с точкой В.
Оба тела могут встретиться на линии ОА (см. рис.) в точке С. Разложим скорость \(V_0\) тела, брошенного из точки В, на горизонтальную и вертикальную составляющие:
\(V_{0x}=V_0\cos\alpha\) ; \(V_{0y}=V_0\sin\alpha\) .
Пусть от начала движения до момента встречи пройдет время
\(t=\frac{S}{V_{0x}}=\frac{S}{V_0\cos\alpha}\) .
За это время тело из точки А опуститься на величину
\(H-h=\frac{gt^2}{2}\) ,
а тело из точки В поднимется на высоту
\(h=V_{0y}t-\frac{gt^2}{2}=V_0\sin\alpha{t}-\frac{gt^2}{2}\) .
Решая последние два уравнения совместно, находим
\(H=V_0\sin\alpha{t}\) .
Подставляя сюда ранее найденное время, получим
\(\tan\alpha=\frac{H}{S}=\sqrt3\) ,
т.е. угол бросания не зависит от начальной скорости.
\(\alpha=60^0\)
Задача 3.
С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 40 м/с. Какова скорость тела через 3 с после начала движения? Какой угол образует с плоскостью горизонта вектор скорости тела в этот момент?
Решение задачи.
Найти: \(\alpha\)
Дано: \(V_0=40\) м/с. \(t=3\) c.
Свяжем ИСО с башней.
Тело одновременно участвует в двух движениях: равномерно в горизонтальном направлении со скоростью \(V_0\) и в свободном падении со скоростью \(V_y=gt\) . Тогда полная скорость тела есть
\(V=\sqrt{V_0^2+g^2t^2}=50 м/с.\)
Направление вектора скорости определяется углом \(\alpha\) . Из рисунка видим, что
\(\cos\alpha=\frac{V_0}{V}=\frac{V_0}{\sqrt{V_0^2+g^2t^2}}=0.8\)
\(\alpha=37^0\)
Задача 4.
Два тела брошены вертикально вверх из одной точки одно вслед за другим с интервалом времени, равным \(\Delta{t}\) , с одинаковыми скоростями \(V_0\) . Через какое время \(t\) после бросания первого тела они встретятся?
Решение задачи.
Найти: \(t\)
Дано: \(V_0\) , \(\Delta{t}\)
Из анализа условия задачи, ясно, что первое тело поднимется на максимальную высоту и на спуске встретится со вторым телом. Запишем законы движения тел:
\(h_1=V_0t-\frac{gt^2}{2}\)
\(h_2=V_0(t-\Delta{t})-\frac{g(t-\Delta{t})^2}{2}\) .
В момент встречи \(h_1=h_2\) , откуда сразу получаем
\(t=\frac{V_0}{g}+\frac{\Delta{t}}{2}\)
Кинематика - это просто!
После броска, в полете, на тело действуют сила тяжести Fт
и сила сопротивления воздуха Fс
.
Если движение тела происходит на малых скоростях, то при расчете силу сопротивления воздуха обычно не учитывают.
Итак, можно считать, что на тело действует только сила тяжести, значит движение брошенного тела является свободным падением
.
Если это свободное падение, то ускорение брошенного тела равно ускорению свободного падения g
.
На малых высотах относительно поверхности Земли сила тяжести Fт практически не меняется, поэтому тело движется с постоянным ускорением.
Итак, движение тела, брошенного под углом к горизонту является вариантом свободного падения, т.е. движением с постоянным ускорением и криволинейной траекторией (т.к. векторы скорости и ускорения не совпадают по направлению).
Формулы этого движения в векторном виде:
Для расчета движения тела выбирают прямоугольную систему координат XOY, т.к. траекторией движения тела является парабола, лежащая в плоскости, проходящей через векторы Fт и Vo .
За начало координат обычно выбирают точку начала движения брошенного тела.
В любой момент времени изменение скорости движения тела по направлению совпадает с ускорением.
Вектор скорости тела в любой точке траектории можно разложить на 2 составляющих: вектор V x и вектор V y .
В любой момент времени скорость тела будет определяться, как геометрическая сумма этих векторов:
Согласно рисунку, проекции вектора скорости на координатные оси OX и OY выглядят так:
Расчет скорости тела в любой момент времени:
Расчет перемещения тела в любой момент времени:
Каждой точке траектории движения тела соответствуют координаты X и Y:
Расчетные формулы для координат брошенного тела в любой момент времени:
Из уравнения движения можно вывести формулы для расчета максимальной дальности полета L:
и максимальной высоты полета Н:
P.S.
1. При равных по величине начальных скоростях Vo дальность полета:
- возрастает, если начальный угол бросания увеличивать от 0 o до 45 o ,
- убывает, если начальный угол бросания увеличивать от 45 o до 90 o .
2. При равных начальных углах бросания дальность полета L возрастает с увеличением начальной скорости Vo.
3. Частным случаем движения тела, брошенного под углом к горизонту, является движение тела, брошенного горизонтально , при этом начальный угол бросания равен нулю.
Если сопротивлением воздуха можно пренебречь, то брошенное как угодно тело движется с ускорением свободного падения .
Рассмотрим сначала движение тела, брошенного горизонтально со скоростью v_vec0 с высоты h над поверхностью земли (рис. 11.1).
В векторном виде зависимость скорости тела от времени t выражается формулой
В проекциях на оси координат:
v x = v 0 , (2)
v y = –gt. (3)
1. Объясните, как из (2) и (3) получаются формулы
x = v 0 t, (4)
y = h – gt 2 /2. (5)
Мы видим, что тело как бы совершает одновременно два вида движения: вдоль оси x оно движется равномерно, а вдоль оси y – равноускоренно без начальной скорости.
На рисунке 11.2 показано положение тела через равные промежутки времени. Внизу показано положение в те же моменты времени тела, движущегося прямолинейно равномерно с той же начальной скоростью, а слева – положение свободно падающего тела.
Мы видим, что брошенное горизонтально тело находится все время на одной вертикали с движущимся равномерно телом и на одной горизонтали со свободно падающим телом.
2. Объясните, как из формул (4) и (5) получаются выражения для времени tпол и дальности полета тела l:
Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в момент падения y = 0.
3. Тело бросают горизонтально с некоторой высоты. В каком случае дальность полета тела будет больше: при увеличении в 4 раза начальной скорости или при увеличении во столько же раз начальной высоты? Во сколько раз больше?
Траекторий движения
На рисунке 11.2 траектория движения тела, брошенного горизонтально, изображена красной штриховой линией. Она напоминает ветвь параболы. Проверим это предположение.
4. Докажите, что для тела, брошенного горизонтально, уравнение траектории движения, то есть зависимость y(x), выражается формулой
Подсказка. Используя формулу (4), выразите t через x и подставьте найденное выражение в формулу (5).
Формула (8) действительно представляет собой уравнение параболы. Ее вершина совпадает с начальным положением тела, то есть имеет координаты x = 0; y = h, а ветвь параболы направлена вниз (на это указывает отрицательный коэффициент перед x 2).
5. Зависимость y(x) выражается в единицах СИ формулой y = 45 – 0,05x 2 .
а) Чему равны начальная высота и начальная скорость тела?
б) Чему равны время и дальность полета?
6. Тело брошено горизонтально с высоты 20 м с начальной скоростью 5 м/с.
а) Сколько времени будет длиться полет тела?
б) Чему равна дальность полета?
в) Чему равна скорость тела непосредственно перед ударом о землю?
г) Под каким углом к горизонту будет направлена скорость тела непосредственно перед ударом о землю?
д) Какой формулой в единицах СИ выражается зависимость модуля скорости тела от времени?
2. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
На рисунке 11.3 схематически изображено начальное положение тела, его начальная скорость 0 (при t = 0) и ускорение (ускорение свободного падения ).
Проекции начальной скорости
v 0x = v 0 cos α, (9)
v 0y = v 0 sin α. (10)
Для сокращения последующих записей и прояснения их физического смысла удобно до получения окончательных формул сохранять обозначения v 0x и v 0y .
Скорость тела в векторном виде в момент времени t и в этом случае выражается формулой
Однако теперь в проекциях на оси координат
v x = v 0x , (11)
vy = v 0y – gt. (12)
7. Объясните, как получаются следующие уравнения:
x = v 0x t, (13)
y = v 0y t – gt 2 /2. (14)
Мы видим, что и в этом случае брошенное тело как бы участвует одновременно в двух видах движения: вдоль оси x оно движется равномерно, а вдоль оси y – равноускоренно с начальной скоростью, как тело, брошенное вертикально вверх.
Траектория движения
На рисунке 11.4 схематически показано положение тела, брошенного под углом к горизонту, через равные промежутки времени. Вертикальные линии подчеркивают, что вдоль оси x тело движется равномерно: соседние линии находятся на равных расстояниях друг от друга.
8. Объясните, как получить следующее уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту:
Формула (15) представляет собой уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.
Уравнение траектории может многое рассказать нам о движении брошенного тела!
9. Зависимость y(x) выражается в единицах СИ формулой y = √3 * x – 1,25x 2 .
а) Чему равна горизонтальная проекция начальной скорости?
б) Чему равна вертикальная проекция начальной скорости?
в) Под каким углом к горизонту брошено тело?
г) Чему равна начальная скорость тела?
Параболическую форму траектории тела, брошенного под углом к горизонту, наглядно демонстрирует струя воды (рис. 11.5).
Время подъема и время всего полета
10. Используя формулы (12) и (14), покажите, что время подъема тела t под и время всего полета t пол выражаются формулами
Подсказка. В верхней точке траектории v y = 0, а в момент падения тела его координата y = 0.
Мы видим, что и в этом случае (так же, как для тела, брошенного вертикально вверх) все время полета t пол в 2 раза больше времени подъема t под. И в этом случае при обратном просмотре видеосъемки подъем тела будет выглядеть в точности как его спуск, а спуск – как подъем.
Высота и дальность полета
11. Докажите, что высота подъема h и дальность полета l выражаются формулами
Подсказка. Для вывода формулы (18) воспользуйтесь формулами (14) и (16) или формулой (10) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении; для вывода формулы (19) воспользуйтесь формулами (13) и (17).
Обратите внимание: время подъема тела tпод, все время полета tпол и высота подъема h зависят только от вертикальной проекции начальной скорости.
12. До какой высоты поднялся после удара футбольный мяч, если он упал на землю через 4 с после удара?
13. Докажите, что
Подсказка. Воспользуйтесь формулами (9), (10), (18), (19).
14. Объясните, почему при одной и той же начальной скорости v 0 дальность полета l будет одинакова при двух углах α 1 и α 2 , связанных соотношением α 1 + α 2 = 90º (рис. 11.6).
Подсказка. Воспользуйтесь первым равенством в формуле (21) и тем, что sin α = cos(90º – α).
15. Два тела, брошенные одновременно и с одинаковой по модулю начальной око одну точку. Угол между начальными скоростями равен 20º. Под какими углами к горизонту были брошены тела?
Максимальные дальность и высота полета
При одной и той же по модулю начальной скорости дальность полета и высота определяются только углом α. Как выбрать этот угол, чтобы дальность или высота полета были максимальными?
16. Объясните, почему максимальная дальность полета достигается при α = 45º и выражается формулой
l max = v 0 2 /g. (22)
17.Докажите, что максимальная высота полета выражается формулой
h max = v 0 2 /(2g) (23)
18.Тело, брошенное под углом 15º к горизонту, упало на расстоянии 5 м от начальной точки.
а) Чему равна начальная скорость тела?
б) До какой высоты поднялось тело?
в) Чему равна максимальная дальность полета при той же по модулю начальной скорости?
г) До какой максимальной высоты могло бы подняться это тело при той же по модулю начальной скорости?
Зависимость скорости от времени
При подъеме скорость брошенного под углом к горизонту тела уменьшается по модулю, а при спуске – увеличивается.
19.Тело брошено под углом 30º к горизонту с начальной скоростью 10 м/с.
а) Как в единицах СИ выражается зависимость vy(t)?
б) Как в единицах СИ выражается зависимость v(t)?
в) Чему равна минимальная скорость тела во время полета?
Подсказка. Воспользуйтесь формулами (13) и (14), а также теоремой Пифагора.
Дополнительные вопросы и задания
20. Бросая камешки под разными углами, Саша обнаружил, что не может бросить камешек дальше чем на 40 м. На какую максимальную высоту Саша сможет забросить камешек?
21. Между сдвоенными шинами заднего колеса грузовика застрял камешек. На каком расстоянии от грузовика должен ехать следующий за ним автомобиль, чтобы этот камешек, сорвавшись, не причинил ему вреда? Оба автомобиля едут со скоростью 90 км/ч.
Подсказка. Перейдите в систему отсчета, связанную с любым из автомобилей.
22. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы:
а) высота полета была равна дальности?
б) высота полета была в 3 раза больше дальности?
в) дальность полета была в 4 раза больше высоты?
23. Тело брошено с начальной скоростью 20 м/с под углом 60º к горизонту. Через какие промежутки времени после броска скорость тела будет направлена под углом 45º к горизонту?
Рассмотрим движение тела в поле тяжести Земли, сопротивление воздуха учитывать не будем. Пусть начальная скорость брошенного тела направлена под углом к горизонту $\alpha $ (рис.1). Тело брошено с высоты ${y=h}_0$; $x_0=0$.
Тогда в начальный момент времени тело имеет горизонтальную ($v_x$) и вертикальную ($v_y$) составляющие скорости. Проекции скорости на оси координат при $t=0$ равны:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_{0x}=v_0{\cos \alpha ,\ } \\ v_{0y}=v_0{\sin \alpha .\ } \end{array} \right.\left(1\right).\]
Ускорение тела равно ускорению свободного паления и все время направлено вниз:
\[\overline{a}=\overline{g}\left(2\right).\]
Значит, проекция ускорения на ось X равна нулю, а на ось Y равна $a_y=g.$
Так как по оси X составляющая ускорения равна нулю, то скорость движения тела в этом направлении является постоянной величиной и равна проекции начальной скорости на ось X (см.(1)). Движение тела по оси X равномерное.
При ситуации, изображенной на рис.1 тело по оси Y будет двигаться сначала вверх, а затем виз. При этом ускорение движения тела в обоих случаях равно ускорению $\overline{g}.$ На прохождение пути вверх от произвольной высоты ${y=h}_0$ до максимальной высоты подъема ($h$) тело тратит столько же времени, сколько на падение вниз от $h$ до ${y=h}_0$. Следовательно, точки симметричные относительно вершины подъема тела лежат на одинаковой высоте. Получается, что траектория движения тела симметрична относительно точки-вершины подъема - и это парабола.
Скорость движения тела, брошенного под углом к горизонту можно выразить формулой:
\[\overline{v}\left(t\right)={\overline{v}}_0+\overline{g}t\ \left(3\right),\]
где ${\overline{v}}_0$ - скорость тела в момент броска. Формулу (3) можно рассматривать как результат сложения скоростей двух независимых движений по прямым линиям, в которых участвует тело.
Выражения для проекции скорости на оси принимают вид:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=v_0{\cos \alpha ,\ } \\ v_y=v_0{\sin \alpha -gt\ } \end{array} \left(4\right).\right.\]
Уравнение для перемещения тела при движении в поле тяжести:
\[\overline{s}\left(t\right)={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2}\left(5\right),\]
где ${\overline{s}}_0$ - смещение тела в начальный момент времени.
Проектируя уравнение (5) на оси координат X и Y, получим:
\[\left\{ \begin{array}{c} x=v_0{\cos \left(\alpha \right)\cdot t,\ } \\ y={h_0+v}_0{\sin \left(\alpha \right)\cdot t-\frac{gt^2}{2}\ } \end{array} \left(6\right).\right.\]
Тело, двигаясь вверх, имеет по оси Y сначала равнозамедленное перемещение, после того, как тело достигает вершины, движение по оси Y становится равноускоренным.
Траектория движения материальной точки получается, задана уравнением:
По форме уравнения (7) видно, что траекторией движения является парабола.
Время подъема и полета тела, брошенного под углом к горизонту
Время, затрачиваемое телом для того, чтобы достигнуть максимальной высоты подъема получают из системы уравнений (4). . В вершине траектории тело имеет только горизонтальную составляющую, $v_y=0.$ Время подъема ($t_p$) равно:
Общее время движения тела (время полета ($t_{pol}))$находим из второго уравнения системы (6), зная, что при падении тела на Землю $y=0$, имеем:
Дальность полета и высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту
Для нахождения горизонтальной дальности полета тела ($s$) при заданных нами условиях в уравнение координаты $x$ системы уравнений (6) следует подставить время полета ($t_{pol}$) (9). При $h=0,$ дальность полета равна:
Из выражения (9) следует, что при заданной скорости бросания дальность полета максимальна при $\alpha =\frac{\pi }{4}$.
Максимальную высоту подъема тела ($h_{max}$) находят из второго уравнения системы (6), подставляя в него время подъема ($t_p$) (8):
Выражение (11) показывает, что максимальная высота подъема тела прямо пропорциональна квадрату скорости бросания и увеличивается при росте угла бросания.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Во сколько раз изменится время полета тела, которое бросили с высоты $h$ в горизонтальном направлении, если скорость бросания тела увеличили в $n$ раз?
Решение. Найдем формулу для вычисления времени полета тела, если его бросили горизонтально (рис.2).
В качестве основы для решения задачи используем выражение для равноускоренного движения тела в поле тяжести:
\[\overline{s}={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2}\left(1.1\right).\]
Используя рис.2 запишем проекции уравнения (1.1) на оси координат:
\[\left\{ \begin{array}{c} X:x=v_0t;; \\ Y:y=h_0-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.\left(1.2\right).\]
Во время падения тела на землю $y=0,$ используем этот факт и выразим время полета из второго уравнения системы (1.2), имеем:
Как мы видим, время полета тела не зависит от его начальной скорости, следовательно, при увеличении начальной скорости в $n$ раз время полета тела не изменится.
Ответ. Не изменится.
Пример 2
Задание. Как изменится дальность полета тела в предыдущей задаче, если начальную скорость увеличить в $n$ раз?
Решение. Дальность полета - это расстояние, которое пройдет тело по горизонтальной оси. Это означает, что нам потребуется уравнение:
из системы (1.2) первого примера. Подставив вместо $t,$ время полета, найденное в (1.3), мы получим дальность полета ($s_{pol}$):
Из формулы (2.2) мы видит, что при заданных условиях движения дальность полета прямо пропорциональна скорости бросания тела, следовательно, во сколько раз увеличим начальную скорость, во столько раз увеличится дальность полета тела.
Ответ. Дальность полета тела увеличится в $n$ раз.
Пусть тело брошено под углом α к горизонту со скоростью . Как и в предыдущих случаях, будем пренебрегать сопротивлением воздуха. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат - Ох и Оу (рис. 29).
Рис.29
Начало отсчета совместим с начальным положением тела. Проекции начальной скорости на оси Оу и Ох: , . Проекции ускорения: ,
Тогда движение тела будет описываться уравнениями:
(8)
(9)
Из этих формул следует, что в горизонтальном направлении тело движется равномерно, а в вертикальном - равноускоренно.
Траекторией движения тела будет парабола. Учитывая, что в верхней точке параболы , можно найти время подъема тела до верхней точки параболы:
Подставив значение t 1 в уравнение (8), найдем максимальную высоту подъема тела:
Максимальная высота подъема тела.
Время полета тела находим из условия, что при t=t 2 координата у 2 =0. Следовательно, 
. Отсюда, - время полета тела. Сравнивая эту формулу с формулой (10), видим, что t 2 =2t 1 .
Время движения тела с максимальной высоты t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 =t 1 . Следовательно, сколько времени тело поднимается на максимальную высоту, столько времени оно опускается с этой высоты. Подставляя в уравнение координаты х (6) значение времени t 2 , найдем:
- дальность полета тела.
Мгновенная скорость в любой точке траектории направлена по касательной к траектории (см. рис. 29), модуль скорости определяется по формуле
Таким образом, движение тела, брошенного под углом к горизонту или в горизонтальном направлении, можно рассматривать как результат двух независимых движений - горизонтального равномерного и вертикального равноускоренного (свободного падения без начальной скорости или движения тела, брошенного вертикально вверх).
Рассмотрим, что может быть целью кинематических задач.
1. Нас может интересовать изменение кинематических величин в процессе движения , т.е. получение сведений об изменении координат, скорости, ускорения, а также соответствующих угловых величин.
2. В ряде задач, например, в задаче о движении тела под углом к горизонту, требуется узнать о значениях физических величин в конкретных состояниях : дальности полета, наибольшей величине подъема и т.д.
3. В случаях, когда тело одновременно участвует в нескольких движениях (например, качение шара) или рассматривается относительное движение нескольких тел, возникает необходимость установить соотношения между перемещениями, скоростями и ускорениями (линейными и угловыми), т.е. найти уравнения кинематической связи .
Несмотря на большое разнообразие задач по кинематике, можно предложить следующий алгоритм их решения:
1. Сделать схематический рисунок, изобразив начальное положение тел и их начальное состояние, т.е. и .
2. Выбрать систему отсчета на основании анализа условия задачи. Для этого нужно выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат, указав начало отсчета координат, направление осей координат, момент начала отсчета времени. При выборе положительных направлений руководствуются направлением движения (скорости) или направлением ускорения.
3. Составить на основании законов движения систему уравнений в векторном виде для всех тел, а затем в скалярной форме, спроецировав на координатные оси эти векторные уравнения движения. При записи этих уравнений следует обратить внимание на знаки "+" и "-" проекций входящих в них векторных величин.
4. Ответ необходимо получить в виде аналитической формулы (в общем виде), а в конце произвести числовые расчеты.
Пример 4. Сколько времени пассажир, сидящий у окна поезда, который идет со скоростью 54 км/ч, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого 36 км/ч, а длина 250 м?
Решение. Неподвижную систему отсчета свяжем с Землей, подвижную – с поездом, в котором находится пассажир. Согласно закону сложения скоростей , где - скорость встречного поезда относительно первого. В проекциях на ось Ох:
Так как путь, пройденный встречным поездом относительно первого, равен длине поезда, то время
Пример 5. Пароход идет от Нижнего Новгорода до Астрахани 5,0 суток, а обратно - 7,0 суток. Как долго будет плыть плот от Нижнего Новгорода до Астрахани? Стоянки и задержки в движении исключить.
Дано: t 1 =5 сут, t 2 =7 сут.
Решение. Неподвижную систему отсчета свяжем с берегом, подвижную – с водой. Будем считать, что скорость воды на всем пути одинакова и скорость парохода относительно воды постоянна и равна модулю мгновенной скорости парохода относительно воды.
Так как плот движется относительно берега со скоростью течения реки , то время его движения , где s – расстояние между городами. При движении парохода по течению его скорость согласно закону сложения скоростей , или в проекциях на ось Ох:
где - скорость парохода относительно берега, - скорость парохода относительно реки.
Зная время движения, можно найти скорость:
Из формул (1) и (2) имеем:
При движении парохода против течения , или в проекциях на ось Ох , где - скорость парохода относительно берега.
С другой стороны, . Тогда
Решая систему уравнений (3) и (4) относительно , получим:
Найдем время движения плота:
Пример 6. При равноускоренном движении тело проходит за два первых равных последовательных промежутка времени по 4,0 с каждый пути s 1 = 24 м и s 2 =64 м соответственно. Определите начальную скорость и ускорение тела.
Дано: t 1 =t 2 = 4,0 с, s 1 =24 м, s 2 = 64 м.
Решение. Запишем уравнения пути для s 1 и (s 1 +s 2) соответственно. Так как начальная скорость в этом случае одинакова, то
Так как t1=t2, то
Выразив из (1) и подставив ее в (2), получим:
Тогда начальная скорость 
Пример 7. Автомобиль, двигаясь по прямолинейной траектории равноускоренно с начальной скоростью 5,0 м/с, прошел за первую секунду путь, равный 6,0 м. Найдите ускорение автомобиля, мгновенную скорость в конце второй секунды и перемещение за 2,0 с.
Решение. Зная путь, пройденный телом за первую секунду, можно найти ускорение:
Скорость в конце второй секунды найдем по формуле
Пример 8. х ) имеет вид x = A + Bt + Ct 3 , где А=4 м, В=2м/с, С=-0,5 м/с 3 .
Для момента времени t 1 =2 c определить: 1) координату точки х 1 точки; 2) мгновенную скорость v 1 ; 3) мгновенное ускорение а 1 .
Дано: x = A + Bt + Ct 3 , А=4 м, В=2 м/с, С=-0,5 м/с 3 , t 1 =2 c.
Найти: х 1 ; v 1 ; а 1 .
Решение. 1.Подставим в уравнение движения вместо t заданное значение времени t 1: x 1 = A + Bt 1 + Ct 1 3 . Подставим в это выражение значения А, В, С, t 1 и произведем вычисления: х 1 = 4 м.
2. Мгновенная скорость: 
Тогда в момент времени t 1 мгновенная скорость v 1 = B + 3Ct 1 2 . Подставим сюда значения В,С, t 1: v 1 = – 4 м/с. Знак минус указывает на то, что в момент времени t 1 =2 c точка движется в отрицательном направлении координатной оси.
3. Мгновенное ускорение: 
Мгновенное ускорение в момент времени t 1 равно а 1 = 6Сt 1 . Подставим значения С, t 1: а 1 = –6 м/с 2 . Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.
Пример 9. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х ) имеет вид х = A + Bt + Ct 2 , где А=5 м, В=4м/с, С= -1м/с 2 . Определить среднюю скорость v хср за интервал времени от t 1 =1 c до t 2 =6 c.
Дано: х = A + Bt + Ct 2 , А=5м, В=4м/с, С=- 1м/с 2 , t 1 =1 c , t 2 =6 c.
Найти: v хср -? а хср -?
Решение. Средняя скорость за интервал времени t 2 -t 1 определяется выражением v ср =(х 2 -х 1)/(t 2 - t 1).
х 1 = A + Bt 1 + Ct 1 2 = 8 м, х 2 = A + Bt 2 + Ct 2 2 = –7 м.
Подставим значения х 1 , х 2 , t 1 , t 2 и произведем вычисления: v хср = -3 м/с.
Пример 10. Из вертолета, находящегося на высоте h = 300 м, сбросили груз. Через какое время груз достигнет земли, если: а) вертолет неподвижен; б) вертолет опускается со скоростью v 0 =5 м/с; 3) вертолет поднимается со скоростью v 0 =5 м/с. Описать графически соответствующие движения груза в осях s(t), v(t) и a(t).
Решение.
а) Груз, покинувший неподвижный вертолет, свободно падает, т.е. движется равноускоренно с ускорением свободного падения g. Время движения найдем из соотношения Откуда 
Графики движение объекта отмечены 1 на рисунке.
б) Движение груза, покинувшего вертолет, который опускается с постоянной скоростью v 0 =5 м/с, является равноускоренным движением с постоянным ускорением g и описывается уравнением
Подстановка численных значений дает уравнение 9,8t 2 +10t-600=0.
Отрицательный результат не имеет физического смысла, поэтому время движения t=7,57 с.
Графики движение объекта отмечены 2 на рисунке.
3) Движение груза, покинувшего вертолет, который поднимается с постоянной скоростью v 0 =5 м/с, cостоит из двух этапов. На первом этапе – груз движется равнозамедленно с постоянным ускорениемg, направленным противоположно скорости, и описывается уравнениями
В верхней точке траектории скорость становится равной нулю, поэтому
Подставляя второе уравнение системы в первое, получим
На втором этапе – свободное падение с высоты h 0 =h+h 1 =300+1,28=301,28 м.
Поскольку
Графики движение объекта отмечены 3 на рисунке.
Пример 11. С воздушного шара, опускающегося вниз с постоянной скоростью 2 м/с, бросили вертикально вверх груз со скоростью 18 м/c относительно земли. Определить расстояние между шаром и грузом в момент, когда груз достигает высшей точки своего подъема. Через какое время груз пролетит мимо шара, падая вниз.
Дано: v 01 = 2 м/с, v 02 =18 м/c
Найти: s-? τ -?
Решение. Направим ось 0Y вертикально вверх, начало совместим с точкой 0, в которой находился шар в момент бросания груза.
Тогда уравнения движения груза и воздушного шара:
Скорость движения груза изменяется по закону v 2 =v 02 – gt.
В наивысшей точке В подъема груза v 2 =0. Тогда время подъема до этой точки Координата груза в точке В
За это время воздушный шар опустился до точки А; его координата
Расстояние между точками А и В:
Через промежуток времени τ, когда камень пролетит мимо шара, координаты тел будут одинаковы: у 1С =у 2С;
Пример 12. С какой скоростью и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за два часа пролететь на север 300 км, если во время полета дует северо-западный ветер под углом 30 о к меридиану со скоростью 27 км/ч?
Дано: t=7,2∙10 3 c; l =3∙10 5 м; α=30° ≈ 0,52 рад; v 2 ≈7,2 м/с.
Найти: v 2 -? φ -?
Решение. Рассмотрим движение самолета в системе отсчета, связанной с землей.
Проведем ось ОХ в направлении на восток, а ось OY - на север. Тогда скорость движения самолета в выбранной системе отсчета
где v=l /t (2)
Уравнение (1) в проекции на оси
ОХ: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;
OY: v= v 2 ∙cosφ - v 1 ∙cosα, или v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinφ, v 2 ∙cosφ=v 1 ∙cosα + v (3)
Разделив эти уравнения почленно, получим tgφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v),
или с учетом (2)
tgφ=v 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l /t);
φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l /t) ≈0,078 рад.
Возводя в квадрат правые и левые части уравнений (3) и складывая полученные уравнения, находим
v 2 2 ∙sin 2 φ + v 2 2 ∙cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,
откуда , или с учетом (2)
Пример 13. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через t=3 с. Найти высоту подъема тела и его начальную скорость.
Решение. Движение тела вверх является равнозамедленным с ускорением - g и происходит в течение времени t 1 , а движение вниз – равноускоренным с ускорением g и происходит в течение времениt 2 . Уравнения, описывающие движение на участках АВ и ВА, образуют систему:
Поскольку v B =0, то v 0 =gt 1 . Подставив v 0 в первое уравнение системы, получим . Если сравнить это выражение с третьим уравнением системы, то можно сделать вывод о том, что время подъема равно времени спуска t 1 =t 2 =t/2=1,5с. Начальная скорость и скорость при приземлении равны друг другу и составляют v 0 =v A =gt 1 =9,8∙1,5=14,7 м/с.
Высота подъема тела
Пример 14. Свободно падающее тело в последнюю секунду движения прошло половину пути. Найти высоту, с которой оно брошено и время движения.
Решение. Зависимость пройденного пути от времени для свободно падающего тела . Поскольку участок ВС, составляющие половину всего пути, пройден за время, равное 1 с, то первая половина пути АВ пройдена за время (t-1) с. Тогда движение на участке ВС может быть описано как .
Решая систему
получим t 2 -4t+2=0. Корни этого уравнения t 1 =3,41 с и t 2 =0,59 с. Второй корень не подходит, т.к. время движения, исходя из условия задачи, должно превышать одну секунду. Следовательно, тело падало в течение 3,41 с и прошло за это время путь 
Пример 15. С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с.
Найти: 1) сколько времени камень будет в движении, 2) на каком расстояниион упадет на землю, 3) с какой скоростью он упадет на землю, 4) какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю. Сопротивление воздуха не учитывать.
Дано: Н=25 м, v o =15 м/с
Найти: t-? s x - ? v - ? φ- ?
Решение. Перемещение брошенного горизонтально камня можно разложить на два: горизонтальное s x и вертикальное s y :
где t - время движения.
2) s x =v o t= 33,9 м;
3) v y =gt=22,1м/с;
4) sinφ= v y /v=0,827;
Пример 16. С башни высотой 25 м горизонтально со скоростью v x =10 м/c брошено тело.
Найти: 1) время t падения тела, 2) на каком расстоянии l от основания башни оно упадет, 3) скорость v в конце падения, 4) угол, который составит траектория тела с землей в точке его приземления.
Решение. Движение тела является сложным. Оно участвует в равномерном движении по горизонтали и равноускоренном с ускорением g по вертикали. Поэтому участок АВ описывается уравнениями:
Для точки А эти уравнения принимают вид:
Тогда l =10∙2,26=22,6 м, а v y =9,8∙2,26=22,15 м/с.
Поскольку , то
Угол, который траектория составляет с землей, равен углу φ в треугольнике скоростей в т. А, тангенс которого 
, поэтому φ=68,7°.
Пример 17. Для тела, брошенного с горизонтальной скоростью v x =10 м/с, через время t=2 с после начала движения найти: нормальное, тангенциальное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории в этой точке.
Решение. Вертикальная составляющая скорости v y =gt=9,8∙2=19,6 м/с
Скорость в точке А:
Векторы образуют треугольник скоростей, а векторы - треугольник ускорений. Как видно из рисунка, эти треугольники подобны, а это означает, что их стороны пропорциональны: .
Нормальное ускорение , поэтому радиус кривизны траектории
Пример 18. Мяч бросили со скоростью 10 м/с под углом 40 о к горизонту.
Найти: 1) на какую высоту поднимется мяч; 2) на каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю, 3) сколько времени он будет в движении.
Дано: v o =10 м/с, α=40 о.
Найти: s y - ? s x - ? t - ?
Решение. 1) Найдем наибольшую высоту s y max , на которую поднимается тело, брошенное со скоростью v o подуглом α к горизонту. Имеем (см. рис.):
v y =v o sinα – gt; (1)
s y =v o t∙sinα – gt 2 /2. (2)
В верхней точке v y = 0 и из (1) получим v o ∙sin𝛼 = gt 1 , отсюда время подъема мяча t 1 =v o ∙sinα/g. Подставляя t 1 в (2), получим
s y max = v o 2 ∙sin 2 α/(2g)= 2,1 м.
2) Найдем дальность полета s x max тела, брошенного под углом к горизонту.
Имеем: v x =v o ∙cosα, (3)
s x =v x t=v o t∙cosα. (4)
Тело упадет на горизонтальную плоскость через время t 2 =2t 1 =2v o sinα/g.
Подставляя t 2 в (4), получим s xmax = v о 2 sin2α/g= 10,0 м.
3) t 2 =2t 1 =2v o sinα/g=1,3 с.
Пример 19. Тело брошено со скоростью v 0 =10 м/с 2 под углом α=30° к горизонту. На какую высоту тело поднимется. На каком расстоянии от места бросания оно упадет на землю? Какое время он будет в движении?
Решение. Горизонтальная и вертикальная составляющие начальной скорости
Движение на участке ОА можно разложить на два простых движения: равномерное по горизонтали и равнозамедленное по вертикали:
В точке А
Тогда 
и
Если тело участвует одновременно в нескольких движениях, то в каждом из них оно участвует независимо от другого, следовательно, время движения на участке АВ определяется временем движения вниз – t 2 . Время движения вверх равно времени движения вниз, а, значит,
При равномерном движении по горизонтали за равные промежутки времени тело проходит равные участки пути, следовательно,
Дальность полета
Высота подъема тела
Пример 20. Точка движется прямолинейно на плоскости по закону x=4(t-2) 2 . Каковы начальная скорость v 0 и ускорение точки a ? Найти мгновенную скорость точки v t =5 в начале пятой секунды движения.
Решение.
1) Т.к. v=x’, то v 0 =(4∙(t-2) 2)’=(4∙(t 2 -4t+4))’=(4t 2 -16t+16)’=8t-16
при t=0 v 0 =-16 м/с.
2) Т.к. a= , то a=(8t-16)’=8 м/с.
3) При t=4, т.к. до начала 5 с прошло 4 с.
v t =5 =8t-16=8∙4-16=32 м/с.
Ответ: Начальная скорость точки v 0 =-16 м/с, ускорение a=8 м/с, скорость точки в начале пятой секунды движения v t =5 =32 м/с.
Пример 21. Движение материальной точки описывается уравнениями: а) s=αt 3 ; б) s=αt 2 +βt. Сравните среднюю скорость и среднеарифметическую начальной и конечной скоростей v ср в интервале времени 0 - t. Здесь α и β - положительные постоянные.
Решение. Вспомним определения средней и мгновенной скорости:
Выражения для мгновенной скорости получаются путем дифференцирования уравнения движения.
Выражения для средней скорости находятся как отношение изменения криволинейной координаты к времени:
Получим выражения для среднеарифметической скорости:
Ответим на вопрос условия задачи. Видно, что в случае “а” средняя и среднеарифметическая скорости не совпадают, а в случае “б” - совпадают.
Пример 22. Материальная точка движется равномерно по криволинейной траектории. В какой точке траектории ускорение максимально?
Решение. При движении по криволинейной траектории ускорение складывается из тангенциального и нормального. Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения величины (модуля) скорости. Если величина скорости не изменяется, тангенциальное ускорение равно нулю. Нормальное ускорение зависит от радиуса кривизны траектории a n =v 2 /R. Ускорение максимально в точке с наименьшим радиусом кривизны, т.е. в точке С.
Пример 23.
Материальная точка движется согласно закону: 
1) Определить начальную координату, начальную скорость и ускорение путем сравнения с законом движения с постоянным ускорением. Записать уравнение для проекции скорости.
Решение. Закон движения с постоянным ускорением имеет вид
Сравнивая это уравнение с уравнением условия задачи, получаем
x 0 = - 1 м,
v 0 x = 1 м/с,
a x = - 0,25 м/с 2 .
Возникает вопрос: какой смысл имеет знак “минус”? Когда проекция вектора отрицательна? Только в том случае, когда вектор направлен против оси координат.
Изобразим на рисунке начальную координату, векторы скорости и ускорения.
Запишем уравнение для скорости в виде
и подставим в него полученные данные (начальные условия)
2) Найти зависимость скорости и ускорения от времени, применяя определения этих величин.
Решение. Применим определения для мгновенных значений скорости и ускорения:
Производя дифференцирование, получим v x =1-0,25t, a x = - 0,25 м/с 2 .
Видно, что ускорение не зависит от времени.
3) Построить графики v х (t) и a х (t). Охарактеризовать движение на каждом участке графика.
Решение. Зависимость скорости от времени - линейная, график представляет собой прямую линию.
При t = 0 v х = 1 м/с. При t = 4 с v х = 0.
Из графика видно, что на участке “а” проекция скорости положительная, а ее величина убывает, т.е. точка движется замедленно в направлении оси х. На участке “b” проекция скорости отрицательная, а ее модуль возрастает. Точка движется ускоренно в направлении, противоположном оси х. Следовательно, в точке пересечения графика с осью абсцисс происходит поворот, изменение направления движения.
4) Определить координату точки поворота и путь до поворота.
Решение. Еще раз отметим, что в точке поворота скорость равна нулю. Для этого состояния из уравнений движения получаем:
Из второго уравнения получаем t пов = 4 с. (Видно, чтобы получить это значение не обязательно строить и анализировать график). Подставим это значение в первое уравнение: x пов =-1+4-4 2 /8 = 1 м. Изобразим, как двигалась точка.
Путь до поворота, как видно из рисунка, равен изменению координаты: s пов =x пов -x 0 =1-(-1)=2 м.
5) В какой момент времени точка проходит через начало координат?
Решение.
В уравнении движения следует положить х = 0. Получаем квадратное уравнение 0=-1+t-t 2 /8 или t 2 -8t+8=0. У этого уравнения два корня: 
. t 1 = 1,17 с, t 2 = 6,83 с. Действительно, точка проходит через начало координат два раза: при движении “туда” и “обратно”.
6) Найти путь, пройденный точкой за 5 секунд после начала движения, и перемещение за это время, а также среднюю путевую скорость на этом участке пути.
Решение. Прежде всего найдем координату, в которой оказалась точка после 5 секунд движения и отметим ее на рисунке.
x(5)=-1+5-5 2 /8= 0,875 м.
Поскольку в данном состоянии точка находится после поворота, то пройденный путь уже не равняется изменению координаты (перемещению), а складывается из двух слагаемых: пути до поворота
s 1 = x пов - x 0 = 1 - (-1) = 2 м
и после поворота
s 2 = x пов - x(5) = 1 - 0,875 = 0,125 м,
s = s 1 + s 2 = 2,125 м.
Перемещение точки равно
s х = x(5) - x 0 = 0,875 - (-1) = 1,875 м
Средняя путевая скорость вычисляется по формуле
В рассмотренной задаче описан один из наиболее простых видов движения - движение с постоянным ускорением. Тем не менее, данный подход к анализу характера движения является универсальным.
Пример 24. При одномерном движении с постоянным ускорением зависимости координаты и скорости частицы от времени описываются соотношениями:
Установить связь между координатой частицы и ее скоростью.
Решение. Из этих уравнений исключаем время t. Для этого используем метод подстановки. Из второго уравнения выражаем время и подставляем в первое уравнение:
Если движение начинается из начала координат (х 0 =0) из состояния покоя (v 0 x =0), то полученная зависимость принимает вид
хорошо знакомый из школьного курса физики.
Пример 25. Движение материальной точки описывается уравнением: , где i и j - орты осей х и у, α и β - положительные постоянные. В начальный момент времени частица находилась в точке х 0 =у 0 =0. Найти уравнение траектории частицы у(х).
Решение. Условие задачи сформулировано с применением векторного способа описания движения. Перейдем к координатному способу. Коэффициенты при единичных векторах представляют собой проекции вектора скорости, а именно:
Вначале получим зависимости x(t) и y(t), решая задачу первого класса.
Пример 28. С башни высотой h бросили камень со скоростью v 0 под углом α к горизонту. Найти:
1) какое время камень будет в движении;
2) на каком расстоянии s он упадет на землю;
3) с какой скоростью он упадет на землю;
4) какой угол β составит траектория камня с горизонтом в точке его падения;
5) нормальное и тангенциальное ускорения камня в этой точке, а также радиус кривизны траектории;
6) наибольшую высоту подъема камня.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. На примере этой задачи покажем, как в обобщенном виде можно установить приведенный алгоритм решения любой задачи данного класса.
1. В задаче рассматривается движение материальной точки (камня) в поле силы тяжести Земли. Следовательно, это движение с постоянным ускорением свободного падения g, направленным вертикально вниз.